Приложение № 20
к Основной образовательной
программе основного
общего образования
ФГОС

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
КУРСА
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО МАТЕМАТИКЕ»
10, 11 класс

1

1. ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО МАТЕМАТИКЕ»
10, 11 класс
Личностные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего образования согласно Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования
(утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г.
N 413) с изменениями и дополнениями должны отражать:
1) российскую гражданскую идентичность, патриотизм, уважение к своему народу, чувства ответственности перед Родиной, гордости за свой край,
свою Родину, прошлое и настоящее многонационального народа России,
уважение государственных символов (герб, флаг, гимн);
2) гражданскую позицию как активного и ответственного члена российского общества, осознающего свои конституционные права и обязанности,
уважающего закон и правопорядок, обладающего чувством собственного достоинства, осознанно принимающего традиционные национальные и общечеловеческие гуманистические и демократические ценности;
3) готовность к служению Отечеству, его защите;
4) сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, основанного на диалоге
культур, а также различных форм общественного сознания, осознание своего
места в поликультурном мире;
5) сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества;
готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной
деятельности;
Подпункт 6 изменен с 7 августа 2017 г. – Приказ Минобрнауки России от 29 июня
2017 г. N 613.

6) толерантное сознание и поведение в поликультурном мире, готовность и способность вести диалог с другими людьми, достигать в нем взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения, способность противостоять идеологии экстремизма, национализма, ксенофобии,
дискриминации по социальным, религиозным, расовым, национальным признакам и другим негативным социальным явлениям;
7) навыки сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста,
взрослыми
в
образовательной,
общественно
полезной,
учебноисследовательской, проектной и других видах деятельности;
2

8) нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих ценностей;
9) готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному
образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
10) эстетическое отношение к миру, включая эстетику быта, научного и
технического творчества, спорта, общественных отношений;
11) принятие и реализацию ценностей здорового и безопасного образа
жизни, потребности в физическом самосовершенствовании, занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью, неприятие вредных привычек: курения, употребления алкоголя, наркотиков;
12) бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому
и психологическому здоровью, как собственному, так и других людей, умение оказывать первую помощь;
13) осознанный выбор будущей профессии и возможностей реализации
собственных жизненных планов; отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
14) сформированность экологического мышления, понимания влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды; приобретение опыта эколого-направленной деятельности;
15) ответственное отношение к созданию семьи на основе осознанного
принятия ценностей семейной жизни.
Личностные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего образования согласно Примерной основной образовательной программе среднего общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию
(протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з)) подразделяются на:
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к себе, к
своему здоровью, к познанию себя:
– ориентация обучающихся на достижение личного счастья, реализацию
позитивных жизненных перспектив, инициативность, креативность, готовность и способность к личностному самоопределению, способность ставить
цели и строить жизненные планы;
– готовность и способность обеспечить себе и своим близким достойную
жизнь в процессе самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
– готовность и способность обучающихся к отстаиванию личного достоинства, собственного мнения, готовность и способность вырабатывать собственную позицию по отношению к общественно-политическим событиям
прошлого и настоящего на основе осознания и осмысления истории, духовных ценностей и достижений нашей страны;
3

– готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самовоспитанию в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества, потребность в физическом самосовершенствовании, занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
– принятие и реализация ценностей здорового и безопасного образа
жизни, бережное, ответственное и компетентное отношение к собственному
физическому и психологическому здоровью;
– неприятие вредных привычек: курения, употребления алкоголя, наркотиков.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к России
как к Родине (Отечеству):
– российская идентичность, способность к осознанию российской идентичности в поликультурном социуме, чувство причастности к историкокультурной общности российского народа и судьбе России, патриотизм, готовность к служению Отечеству, его защите;
– уважение к своему народу, чувство ответственности перед Родиной,
гордости за свой край, свою Родину, прошлое и настоящее многонационального народа России, уважение к государственным символам (герб, флаг,
гимн);
– формирование уважения к русскому языку как государственному языку Российской Федерации, являющемуся основой российской идентичности
и главным фактором национального самоопределения;
– воспитание уважения к культуре, языкам, традициям и обычаям народов, проживающих в Российской Федерации.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к закону,
государству и к гражданскому обществу:
– гражданственность, гражданская позиция активного и ответственного
члена российского общества, осознающего свои конституционные права и
обязанности, уважающего закон и правопорядок, осознанно принимающего
традиционные национальные и общечеловеческие гуманистические и демократические ценности, готового к участию в общественной жизни;
– признание неотчуждаемости основных прав и свобод человека, которые принадлежат каждому от рождения, готовность к осуществлению собственных прав и свобод без нарушения прав и свобод других лиц, готовность
отстаивать собственные права и свободы человека и гражданина согласно
общепризнанным принципам и нормам международного права и в соответствии с Конституцией Российской Федерации, правовая и политическая грамотность;
– мировоззрение, соответствующее современному уровню развития
науки и общественной практики, основанное на диалоге культур, а также
различных форм общественного сознания, осознание своего места в поликультурном мире;

4

– интериоризация ценностей демократии и социальной солидарности,
готовность к договорному регулированию отношений в группе или социальной организации;
– готовность обучающихся к конструктивному участию в принятии решений, затрагивающих их права и интересы, в том числе в различных формах общественной самоорганизации, самоуправления, общественно значимой деятельности;
– приверженность идеям интернационализма, дружбы, равенства, взаимопомощи народов; воспитание уважительного отношения к национальному
достоинству людей, их чувствам, религиозным убеждениям;
– готовность обучающихся противостоять идеологии экстремизма,
национализма, ксенофобии; коррупции; дискриминации по социальным, религиозным, расовым, национальным признакам и другим негативным социальным явлениям.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся с окружающими людьми:
– нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих ценностей, толерантного сознания и поведения в поликультурном мире,
готовности и способности вести диалог с другими людьми, достигать в нем
взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
– принятие гуманистических ценностей, осознанное, уважительное и
доброжелательное отношение к другому человеку, его мнению, мировоззрению;
– способность к сопереживанию и формирование позитивного отношения к людям, в том числе к лицам с ограниченными возможностями здоровья
и инвалидам; бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому и психологическому здоровью других людей, умение оказывать
первую помощь;
– формирование выраженной в поведении нравственной позиции, в том
числе способности к сознательному выбору добра, нравственного сознания и
поведения на основе усвоения общечеловеческих ценностей и нравственных
чувств (чести, долга, справедливости, милосердия и дружелюбия);
– развитие компетенций сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебноисследовательской, проектной и других видах деятельности.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к окружающему миру, живой природе, художественной культуре:
– мировоззрение, соответствующее современному уровню развития
науки, значимости науки, готовность к научно-техническому творчеству,
владение достоверной информацией о передовых достижениях и открытиях
мировой и отечественной науки, заинтересованность в научных знаниях об
устройстве мира и общества;
– готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному
5

образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
– экологическая культура, бережное отношения к родной земле, природным богатствам России и мира; понимание влияния социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной среды, ответственность за состояние природных ресурсов; умения и навыки разумного
природопользования, нетерпимое отношение к действиям, приносящим вред
экологии; приобретение опыта эколого-направленной деятельности;
– эстетическое отношения к миру, готовность к эстетическому обустройству собственного быта.
Личностные результаты в сфере отношений обучающихся к семье и
родителям, в том числе подготовка к семейной жизни:
– ответственное отношение к созданию семьи на основе осознанного
принятия ценностей семейной жизни;
– положительный образ семьи, родительства (отцовства и материнства),
интериоризация традиционных семейных ценностей.
Личностные результаты в сфере отношения обучающихся к труду, в
сфере социально-экономических отношений:
– уважение ко всем формам собственности, готовность к защите своей
собственности,
– осознанный выбор будущей профессии как путь и способ реализации
собственных жизненных планов;
– готовность обучающихся к трудовой профессиональной деятельности
как к возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
– потребность трудиться, уважение к труду и людям труда, трудовым
достижениям, добросовестное, ответственное и творческое отношение к разным видам трудовой деятельности;
– готовность к самообслуживанию, включая обучение и выполнение домашних обязанностей.
Личностные результаты в сфере физического, психологического,
социального и академического благополучия обучающихся:
– физическое, эмоционально-психологическое, социальное благополучие обучающихся в жизни образовательной организации, ощущение детьми
безопасности и психологического комфорта, информационной безопасности.
Метапредметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования согласно Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования
(утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г.
N 413) с изменениями и дополнениями должны отражать:
1) умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять
планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для дости6

жения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать
успешные стратегии в различных ситуациях;
2) умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности,
эффективно разрешать конфликты;
3) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач,
применению различных методов познания;
4) готовность и способность к самостоятельной информационнопознавательной деятельности, владение навыками получения необходимой
информации из словарей разных типов, умение ориентироваться в различных
источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
5) умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий (далее – ИКТ) в решении когнитивных, коммуникативных и
организационных задач с соблюдением требований эргономики, техники безопасности, гигиены, ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм
информационной безопасности;
6) умение определять назначение и функции различных социальных институтов;
7) умение самостоятельно оценивать и принимать решения, определяющие стратегию поведения, с учетом гражданских и нравственных ценностей;
8) владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
9) владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований,
границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их
достижения.
Метапредметныерезультаты освоения основной образовательной программы среднего общего образования согласно Примерной основной образовательной программе среднего общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию
(протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з)) представлены тремя группами универсальных учебных действий (УУД).
Регулятивные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
– самостоятельно определять цели, задавать параметры и критерии, по
которым можно определить, что цель достигнута;
– оценивать возможные последствия достижения поставленной цели в
деятельности, собственной жизни и жизни окружающих людей, основываясь
на соображениях этики и морали;
– ставить и формулировать собственные задачи в образовательной деятельности и жизненных ситуациях;
7

– оценивать ресурсы, в том числе время и другие нематериальные ресурсы, необходимые для достижения поставленной цели;
– выбирать путь достижения цели, планировать решение поставленных
задач, оптимизируя материальные и нематериальные затраты;
– организовывать эффективный поиск ресурсов, необходимых для достижения поставленной цели;
– сопоставлять полученный результат деятельности с поставленной заранее целью.
Познавательные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
– искать и находить обобщенные способы решения задач, в том числе,
осуществлять развернутый информационный поиск и ставить на его основе
новые (учебные и познавательные) задачи;
– критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций, распознавать и фиксировать противоречия в информационных источниках;
– использовать различные модельно-схематические средства для представления существенных связей и отношений, а также противоречий, выявленных в информационных источниках;
– находить и приводить критические аргументы в отношении действий и
суждений другого; спокойно и разумно относиться к критическим замечаниям в отношении собственного суждения, рассматривать их как ресурс собственного развития;
– выходить за рамки учебного предмета и осуществлять целенаправленный поиск возможностей для широкого переноса средств и способов действия;
– выстраивать индивидуальную образовательную траекторию, учитывая
ограничения со стороны других участников и ресурсные ограничения;
– менять и удерживать разные позиции в познавательной деятельности.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
– осуществлять деловую коммуникацию как со сверстниками, так и со
взрослыми (как внутри образовательной организации, так и за ее пределами),
подбирать партнеров для деловой коммуникации исходя из соображений результативности взаимодействия, а не личных симпатий;
– при осуществлении групповой работы быть как руководителем, так и
членом команды в разных ролях (генератор идей, критик, исполнитель, выступающий, эксперт и т.д.);
– координировать и выполнять работу в условиях реального, виртуального и комбинированного взаимодействия;
– развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием адекватных (устных и письменных) языковых средств;

8

– распознавать конфликтогенные ситуации и предотвращать конфликты
до их активной фазы, выстраивать деловую и образовательную коммуникацию, избегая личностных оценочных суждений.
Предметные результаты изучения элективного курса «Решение задач
повышенной сложности по математике» – требования к предметным результатам освоения углубленного курса математики должны включать требования к результатам освоения базового курса:
1) сформированность представлений о математике как части мировой
культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
2) сформированность представлений о математических понятиях как о
важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать
разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их
применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
4) владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том
числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;
6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения
распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих
вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
8) владение навыками использования готовых компьютерных программ
при решении задач
и дополнительно отражать:
1) сформированность представлений о необходимости доказательств при
обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении
дедуктивных рассуждений;
2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять;
умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
9

3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;
4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение
функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
5) владение умениями составления вероятностных моделей по условию
задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей;
исследования случайных величин по их распределению.

10

Раздел
Цели
освоения
курса

I. Выпускник научится в 10, 11 кл.
Для успешного продолжения образованияпо специальностям,
связанным с прикладным использованием математики

II. Выпускник получит возможность научиться
в 10, 11 кл.

Для обеспечения возможности успешного продолжения
образования по специальностям, связанным с
осуществлением научной и исследовательской
деятельности в области математики и смежных наук

Требования к результатам

 Оперировать понятиями: конечное множество, элемент
множества, подмножество, пересечение, объединение и
разность множеств, числовые множества на координатной
прямой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с
выколотой точкой, графическое представление множеств
на координатной плоскости;
 задавать множества перечислением и характеристическим
свойством;
 оперировать понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения, контрпример;
 проверять принадлежность элемента множеству;
 находить пересечение и объединение множеств, в том
числе представленных графически на числовой прямой и
на координатной плоскости;
 проводить доказательные рассуждения для обоснования
истинности утверждений.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 использовать числовые множества на координатной прямой и на координатной плоскости для описания реальных
процессов и явлений;
 проводить доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач из других предметов
 Свободно оперировать понятиями: натуральное число,
1

Элементы
теории
множеств и
математической
логики

Числа и

 Оперировать понятием определения, основными видами
определений, основными видами теорем;
 понимать суть косвенного доказательства;
 оперировать понятиями счетного и несчетного множества;
 применять метод математической индукции для проведения рассуждений и доказательств и при решении задач.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 использовать теоретико-множественный язык и язык
логики для описания реальных процессов и явлений, при
решении задач других учебных предметов

 Свободно оперировать числовыми множествами при

Здесь и далее: знать определение понятия, знать и уметь обосновывать свойства(признаки, если они есть) понятия, характеризовать связи с другими понятиями, представляя одно понятие как часть целостного комплекса, использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств,
решении задач.
11

1

выражения

множество натуральных чисел, целое число, множество
целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь,
смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень степени n,
действительное число, множество действительных чисел,
геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
 доказывать и использовать признаки делимости суммы и
произведения при выполнении вычислений и решении задач;
 выполнять округление рациональных и иррациональных
чисел с заданной точностью;
 сравнивать действительные числа разными способами;
 упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и
десятичной дроби, числа, записанные с использованием
арифметического квадратного корня, корней степени
больше 2;
 находить НОД и НОК разными способами и использовать
их при решении задач;
 выполнять вычисления и преобразования выражений, содержащих действительные числа, в том числе корни натуральных степеней;
 выполнять стандартные тождественные преобразования
тригонометрических, логарифмических, степенных, иррациональных выражений.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 выполнять и объяснять сравнение результатов вычислений
при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы сравнений;
 записывать, сравнивать, округлять числовые данные реальных величин с использованием разных систем измерения;
 составлять и оценивать разными способами числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов
12








решении задач;
понимать причины и основные идеи расширения числовых множеств;
владеть основными понятиями теории делимости при
решении стандартных задач
иметь базовые представления о множестве комплексных чисел;
свободно выполнять тождественные преобразования
тригонометрических, логарифмических, степенных выражений;
владеть формулой бинома Ньютона;
уметь выполнять запись числа в позиционной системе
счисления.

 Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение,
являющееся следствием другого уравнения, уравнения,
равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;
 решать разные виды уравнений и неравенств и их систем,
в том числе некоторые уравнения 3-й и 4-й степеней,
дробно-рациональные и иррациональные;
 овладеть основными типами показательных, логарифмических, иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными методами их решений и применять
их при решении задач;
 понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и уметь их доказывать;
 владеть методами решения уравнений, неравенств и их
систем, уметь выбирать метод решения и обосновывать
Уравнения
свой выбор;
и
 использовать метод интервалов для решения неравенств, в
неравенства
том числе дробно-рациональных и включающих в себя
иррациональные выражения;
 владеть разными методами доказательства неравенств;
 решать уравнения в целых числах;
 изображать множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и их системами;
 свободно использовать тождественные преобразования
при решении уравнений и систем уравнений.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 составлять и решать уравнения, неравенства, их системы
при решении задач других учебных предметов;
 выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных уравнений, неравенств и их
систем при решении задач других учебных предметов;
 составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию или прикладную задачу,
интерпретировать полученные результаты;
13

 Свободно определять тип и выбирать метод решения
показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем.

использовать программные средства при решении отдельных классов уравнений и неравенств.
 Владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, график зависимости, график
функции, нули функции, промежутки знакопостоянства,
возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение
функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и нечетная функции; уметь применять
эти понятия при решении задач;
 владеть понятием степенная функция; строить ее график и
уметь применять свойства степенной функции при решении задач;
 владеть понятиями показательная функция, экспонента;
строить их графики и уметь применять свойства показательной функции при решении задач;
 владеть понятием логарифмическая функция; строить ее
график и уметь применять свойства логарифмической
функции при решении задач;
 владеть понятиями тригонометрические функции; строить
их графики и уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;
 владеть понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;
 применять при решении задач свойства функций: четность, периодичность, ограниченность;
 применять при решении задач преобразования графиков
функций;
 владеть понятиями числовая последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессия;
 применять при решении задач свойства и признаки арифметической и геометрической прогрессий.
В повседневной жизни и при изучении других учебных
предметов:


Функции

14

 Владеть понятием асимптоты и уметь его применять
при решении задач.

Элементы
математического
анализа

Статистика
и теория вероятностей,
логика и
комбинато-

 определять по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки
возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);
 интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;
 определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в биологии, экономике, музыке,
радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.).
 Владеть понятием бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия и уметь применять его при решении задач;
 владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;
 вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;
 исследовать функции на монотонность и экстремумы;
 строить графики и применять к решению задач;
 владеть понятием касательная к графику функции и уметь
применять его при решении задач;
 владеть понятиями первообразная функция, определенный
интеграл;
 применять теорему Ньютона–Лейбница и ее следствия для
решения задач.
В повседневной жизни и при изучении других учебных
предметов:
 решать прикладные задачи из биологии, физики, химии,
экономики и других предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;
 интерпретировать полученные результаты.
 Оперировать основными описательными характеристиками числового набора, понятием генеральная совокупность
и выборкой из нее;
 оперировать понятиями: частота и вероятность события,
сумма и произведение вероятностей, вычислять вероятно15

 Свободно владеть стандартным аппаратом математического анализа для вычисления производных функции
одной переменной;
 свободно применять аппарат математического анализа для исследования функций и построения графиков, в
том числе исследования на выпуклость;
 оперировать понятием первообразной функции для решения задач;
 овладеть основными сведениями об интеграле Ньютона–Лейбница и его простейших применениях;
 уметь выполнять приближенные вычисления (методы
решения уравнений, вычисления определенного интеграла);
 уметь применять приложение производной и определенного интеграла к решению задач естествознания;
 владеть понятиями вторая производная, выпуклость
графика функции и уметь исследовать функцию на выпуклость.
 Владеть основными понятиями теории графов (граф,
вершина, ребро, степень вершины, путь в графе) и
уметь применять их при решении задач;
 иметь представление о деревьях и уметь применять при
решении задач;

рика

Текстовые
задачи

сти событий на основе подсчета числа исходов;
 владеть основными понятиями комбинаторики и уметь их
применять при решении задач;
 иметь представление об основах теории вероятностей;
 иметь представление о дискретных и непрерывных случайных величинах и распределениях, о независимости
случайных величин;
 иметь представление о математическом ожидании и дисперсии случайных величин;
 иметь представление о совместных распределениях случайных величин;
 понимать суть закона больших чисел и выборочного метода измерения вероятностей;
 иметь представление о нормальном распределении и примерах нормально распределенных случайных величин;
 иметь представление о корреляции случайных величин.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 вычислять или оценивать вероятности событий в реальной
жизни;
 выбирать методы подходящего представления и обработки
данных.
 Решать разные задачи повышенной трудности;
 анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;
 строить модель решения задачи, проводить доказательные
рассуждения при решении задачи;
 решать задачи, требующие перебора вариантов, проверки
условий, выбора оптимального результата;
 анализировать и интерпретировать полученные решения в
контексте условия задачи, выбирать решения, не противоречащие контексту;
 переводить при решении задачи информацию из одной
формы записи в другую, используя при необходимости
схемы, таблицы, графики, диаграммы.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
16

 уметь осуществлять пути по ребрам, обходы ребер и
вершин графа;
 владеть понятиями конечные и счетные множества и
уметь их применять при решении задач;
 уметь применять метод математической индукции;
 уметь применять принцип Дирихле при решении задач.

 Достижение результатов раздела I.

Геометрия

 решать практические задачи и задачи из других предметов.
 Владеть геометрическими понятиями при решении задач и
проведении математических рассуждений;
 самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на
новых классах фигур, проводить в несложных случаях
классификацию фигур по различным основаниям;
 исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию,
представленную на чертежах;
 решать задачи геометрического содержания, в том числе в
ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из
условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;
 уметь формулировать и доказывать геометрические
утверждения;
 владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;
 иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и уметь применять их при решении задач;
 уметь строить сечения многогранников с использованием
различных методов, в том числе и метода следов;
 иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;
 применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;
 уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;
 уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости
при решении задач;
 владеть понятиями ортогональное проектирование,
17

 Иметь представление об аксиоматическом методе;
 уметь применять для решения задач свойства плоских и
двугранных углов;
 владеть понятием перпендикулярное сечение призмы и
уметь применять его при решении задач;
 владеть понятиями центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом проекций;
 иметь представление о развертке многогранника и
кратчайшем пути на поверхности многогранника;
 иметь представление о конических сечениях;
 иметь представление о касающихся сферах и комбинации тел вращения и уметь применять их при решении
задач;
 применять при решении задач формулу расстояния от
точки до плоскости;
 владеть разными способами задания прямой уравнениями и уметь применять при решении задач;
 применять при решении задач и доказательстве теорем
векторный метод и метод координат;
 иметь представление об аксиомах объема, применять
формулы объемов прямоугольного параллелепипеда,
призмы и пирамиды, тетраэдра при решении задач;
 применять теоремы об отношениях объемов при решении задач;
 применять интеграл для вычисления объемов и поверхностей тел вращения, вычисления площади сферического пояса и объема шарового слоя;
 иметь представление о движениях в пространстве: параллельном переносе, симметрии относительно плоскости, центральной симметрии, повороте относительно
прямой, уметь применять их при решении задач;
 иметь представление о площади ортогональной проекции
















наклонные и их проекции, уметь применять теорему о
трех перпендикулярах при решении задач;
владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся
прямых и уметь применять их при решении задач;
владеть понятием угол между прямой и плоскостью и
уметь применять его при решении задач;
владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять
их при решении задач;
владеть понятиями призма, параллелепипед и применять
свойства параллелепипеда при решении задач;
владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;
владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы
правильной пирамиды и уметь применять их при решении
задач;
иметь представление о теореме Эйлера,правильных многогранниках;
владеть понятием площади поверхностей многогранников
и уметь применять его при решении задач;
владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и
сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;
владеть понятиями касательные прямые и плоскости и
уметь применять их при решении задач;
иметь представления о вписанных и описанных сферах и
уметь применять их при решении задач;
владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел
вращения и применять их при решении задач;
иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их
при решении задач;
иметь представление о площади сферы и уметь применять
его при решении задач;
18

 уметь применять формулы объемов при решении задач.

Векторы и
координаты в
пространстве

История
математики

Методы
математики

 уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел
вращения;
 иметь представление о подобии в пространстве и уметь
решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
 составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать полученные модели и интерпретировать результат.
 Владеть понятиями векторы и их координаты;
 уметь выполнять операции над векторами;
 использовать скалярное произведение векторов при решении задач;
 применять уравнение плоскости, формулу расстояния
между точками, уравнение сферы при решении задач;
 применять векторы и метод координат в пространстве при
решении задач.
 Иметь представление о вкладе выдающихся математиков в
развитие науки;
 понимать роль математики в развитии России.
 Использовать основные методы доказательства, проводить
доказательство и выполнять опровержение;
 применять основные методы решения математических задач;
 на основе математических закономерностей в природе характеризовать красоту и совершенство окружающего мира
и произведений искусства;
 применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач;
 пользоваться прикладными программами и программами
символьных вычислений для исследования математических
объектов.
19

 Находить объем параллелепипеда и тетраэдра, заданных координатами своих вершин;
 задавать прямую в пространстве;
 находить расстояние от точки до плоскости в системе
координат;
 находить расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными в системе координат.
 Достижение результатов раздела I.
 Достижение результатов раздела I;
 применять математические знания к исследованию
окружающего мира (моделирование физических процессов, задачи экономики)

2. СОДЕРЖАНИЕЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО МАТЕМАТИКЕ»
10, 11 кл.
Алгебра и начала анализа
Использование операций над множествами и высказываниями. Использование неравенств и систем неравенств с одной переменной, числовых промежутков, их объединений и пересечений. Применение при решении задач
свойств арифметической и геометрической прогрессии, суммирования бесконечной сходящейся геометрической прогрессии.
Множества (числовые, геометрических фигур). Характеристическое
свойство, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество.
Способы задания множеств. Подмножество. Отношения принадлежности,
включения, равенства. Операции над множествами. Круги Эйлера. Конечные
и бесконечные, счетные и несчетные множества.
Истинные и ложные высказывания, операции над высказываниями. Алгебра высказываний. Связь высказываний с множествами. Кванторы существования и всеобщности.
Законы логики. Основные логические правила. Решение логических задачс использованием кругов Эйлера, основных логических правил.
Умозаключения. Обоснования и доказательство в математике. Теоремы.
Виды математических утверждений. Виды доказательств. Математическая
индукция. Утверждения: обратное данному, противоположное, обратное
противоположному данному. Признак и свойство, необходимые и достаточные условия.
Радианная мера угла, тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции чисел и углов. Формулы приведения, сложения тригонометрических функций, формулы двойного и половинного аргумента. Преобразование суммы, разности в произведение тригонометрических функций, и
наоборот.
Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции и наименьший период. Четные и нечетные функции.
Тригонометрические функции числового аргумента
,
,
,
. Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции, их главные значения, свойства
и графики. Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических неравенств. Простейшие системы тригонометрических уравнений.
Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие
показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее свойства и график. Число e и функция
.

20

Логарифм, свойства логарифма. Десятичный и натуральный логарифм.
Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические уравнения
и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график.
Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения.
Метод интервалов для решения неравенств. Преобразования графиков
функций: сдвиг, умножение на число, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и неравенств. Решение
уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических и иррациональных неравенств.
Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций.
Формула Бинома Ньютона.
Множества на координатной плоскости.
Понятие предела функции в точке. Понятие предела функции в бесконечности.
Дифференцируемость функции. Производная функции в точке. Касательная к графику функции. Геометрический и физический смысл производной. Применение производной в физике. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования.
Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение с
помощью производной. Построение графиков функций с помощью производных. Применение производной при решении задач.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Первообразные элементарных функций. Площадь криволинейной трапеции. Формула НьютонаЛейбница.Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур и
объемов тел вращения с помощью интеграла.
Геометрия
Повторение. Решение задач с использованием свойств фигур на плоскости. Решение задач на доказательство и построение контрпримеров. Решение
задач с использованием теорем о треугольниках, соотношений в прямоугольных треугольниках, фактов, связанных с четырехугольниками. Решение задач
с использованием фактов, связанных с окружностями. Решение задач на измерения на плоскости, вычисления длин и площадей. Решение задач с помощью векторов и координат.
Наглядная стереометрия. Призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр.
Основные понятия геометрии в пространстве. Аксиомы стереометрии и
следствия из них. Понятие об аксиоматическом методе.
Построение сечений многогранников методом следов. Центральное проектирование. Построение сечений многогранников методом проекций.
Скрещивающиеся прямые в пространстве. Угол между ними. Методы
нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.
21

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Параллельное проектирование и изображение фигур.
Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное проектирование. Наклонные и проекции. Теорема о трех перпендикулярах.
Расстояния между фигурами в пространстве. Общий перпендикуляр
двух скрещивающихся прямых.
Углы в пространстве. Перпендикулярные плоскости. Площадь ортогональной проекции. Перпендикулярное сечение призмы.
Виды многогранников. Развертки многогранника. Кратчайшие пути на
поверхности многогранника.
Теорема Эйлера. Правильные многогранники.
Призма. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Прямоугольный
параллелепипед. Наклонные призмы.
Пирамида. Виды пирамид. Элементы правильной пирамиды. Пирамиды
с равнонаклоненными ребрами и гранями, их основные свойства.
Площади поверхностей многогранников.
Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера. Сечения цилиндра, конуса
и шара. Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор (конус).
Усеченная пирамида и усеченный конус.
Элементы сферической геометрии. Конические сечения.
Касательные прямые и плоскости. Вписанные и описанные сферы. Касающиеся сферы. Комбинации тел вращения.
Векторы и координаты. Сумма векторов, умножение вектора на число.
Угол между векторами. Скалярное произведение.
Уравнение плоскости. Формула расстояния между точками. Уравнение
сферы. Формула расстояния от точки до плоскости. Способы задания прямой уравнениями.
Решение задач и доказательство теорем с помощью векторов и методом координат.
Понятие объема. Объемы многогранников. Объемы тел вращения. Аксиомы объема. Вывод формул объемов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды. Формулы для нахождения объема тетраэдра. Теоремы об
отношениях объемов.
Приложения интеграла к вычислению объемов и поверхностей тел вращения. Площадь сферического пояса. Объем шарового слоя. Применение
объемов при решении задач.
Площадь сферы.
Развертка цилиндра и конуса. Площадь поверхности цилиндра и конуса.
Комбинации многогранников и тел вращения.
Подобие в пространстве. Отношение объемов и площадей поверхностей
подобных фигур.
Движения в пространстве: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, центральная симметрия, поворот относительно прямой.

22

Вероятность и статистика, логика, теория графов и комбинаторика
Повторение. Использование таблиц и диаграмм для представления данных. Решение задач на применение описательных характеристик числовых
наборов: средних, наибольшего и наименьшего значения, размаха, дисперсии
и стандартного отклонения. Вычисление частот и вероятностей событий.
Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными исходами. Использование комбинаторики. Вычисление вероятностей независимых событий. Использование формулы сложения вероятностей, диаграмм
Эйлера, дерева вероятностей.
Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула
полной вероятности.
Дискретные случайные величины и распределения. Совместные распределения. Распределение суммы и произведения независимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
Основные понятия теории графов. Деревья. Двоичное дерево. Пути на
графе.

23

3. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
С УКАЗАНИЕМ КОЛИЧЕСТВА ЧАСОВ,
ОТВОДИМЫХ НА ОСВОЕНИЕ КАЖДОЙ ТЕМЫ
Номер
урока
1, 2
3, 4
5, 6
7
8, 9
10, 11
12
13, 14
15
16
17
18, 19

20
21
22
23
24, 25
26, 27
28, 29
30

31
32
33
34 - 36
37, 38
39, 40
41
42 – 44
45, 46

47, 48
49
50 – 52

Содержание материала
10 класс

Начала статистики
Множества
Логика
Признак параллельности прямой и плоскости
Параллельное проектирование и изображение фигур
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Тождественные преобразования арифметических корней
натуральной степени
Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с действительным показателем
Признак скрещивающихся прямых в пространстве
Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве
Построение сечений многогранников методом следов
Степенная функция, еѐ свойства и график. Преобразования
графиков степенной функции: сдвиг, умножение на число, отражение относительно координатных осей.
Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных
функций.
Сложная функция
Дробно-линейная функция
Построение сечений многогранников методом следов
Центральное проектирование. Построение сечений многогранников методом проекций.
Равносильные преобразования уравнений и неравенств и их
систем
Иррациональные уравнения и неравенства и их системы
Показательная функция, ее свойства и график. Преобразования графиков показательной функции: сдвиг, умножение на
число, отражение относительно координатных осей.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Расстояния между фигурами в пространстве. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
Ортогональное проектирование
Показательные уравнения и неравенства и их системы
Показательные уравнения и неравенства, содержащие модуль
Углы в пространстве
Площадь ортогональной проекции
Тождественные преобразования логарифмических выражений
Логарифмическая функция, еѐ свойства и график. Преобразования графиков логарифмической функции: сдвиг, умножение
на число, отражение относительно координатных осей.
Перпендикулярное сечение параллелепипеда
Виды многогранников. Развертки многогранника.
Логарифмические уравнения, неравенства и их системы
24

Количество часов
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1

2
1
1
1
1
2
2
2

1
1
1
1
3
2
2
1
3

2
2
1
3

53, 54
55
56, 57
58 – 61
62 – 64
65, 66
67, 68

Логарифмические уравнения и неравенства, содержащие модуль
Призма. Наклонные призмы.
Пирамиды с равнонаклоненными ребрами и гранями, их основные свойства
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Площади поверхностей многогранников
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенства
Итого

25

2
1
2
4
3
2
2
68

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)